Analisi modale e spettro di risposta: cosa hanno in comune?

di Alessio Ciliberti

L’analisi modale è un processo che consente di ricavare informazioni utili sul comportamento dinamico di un generico sistema, in particolare permette di ricavare quali sono i modi di vibrare di una struttura. Non è semplice capire come i software di calcolo attualmente in commercio combinano i vari effetti delle azioni sismiche, per questo cerchiamo di fare un po’ di chiarezza sull’analisi modale, in particolare l’analisi con spettro di risposta. Realizzando un’analisi modale della struttura con un normale software di calcolo o a mano, per ogni sua forma modale si ottiene uno spostamento con andamento sinusoidale in funzione del tempo.

L’analisi modale restituisce come output inoltre anche il periodo di vibrazione per ogni modo di vibrare: trattasi infatti di un problema agli autovalori generalizzato risolvibile con Matlab e definito a meno di una costante.

Analisi modale e spettro di risposta

Nell’immagine tratta dal Chopra è possibile osservare i modi naturali di vibrazione di un telaio shear-type uniforme a 5 piani. Lo spettro di risposta è uno strumento fondamentale per la progettazione sismica, dal quale è possibile evincere quale è l’accelerazione massima che subisce un sistema vibrante in un determinato sito geografico e su un determinato tipo di suolo. I software di calcolo combinano questi due elementi per ottenere l’azione sismica sulla struttura. Poiché ciascun modo ha un suo periodo di vibrazione, per ciascun modo è possibile leggere nello spettro di progetto l’accelerazione sismica corrispondente al periodo di vibrazione.

Altra caratteristica che può essere ricavata è la massa partecipante di ciascun modo. E’ possibile cosi ottenere il così detto base shear, taglio sollecitante alla base, in funzione della massa partecipante e dell’accelerazione dello spettro di risposta. Una volta noto per ogni modo di vibrare qual è l’effetto massimo in termini di sollecitazioni e spostamenti in funzione dello spettro di progetto utilizzato, è possibile conoscere l‘effetto globale finale.

Il massimo contributo dato da ogni modo sarebbe possibile averlo sommando il contributo di ogni modo, ma questo non è possibile ed è errato farlo, poiché è un procedimento fin troppo cautelativo. I valori delle sollecitazioni e degli spostamenti che si ottengono per ogni modo di vibrare rappresentano i valori massimi che si avrebbero durante un sisma con un determinato periodo di ritorno, ma i valori massimi non avvengono nello stesso istante.

Per dimostrare questo si può osservare la figura sopra. L’immagine mostra l’andamento con il tempo del taglio alla base espresso in Kips per ogni modo di vibrare. Per ogni modo è possibile ricavare il taglio alla base massimo: per il primo modo di vibrare si ha un taglio massimo di 60,47 kips, mentre per il secondo modo un taglio massimo di 24,53 kips. Come però si può facilmente intuire questi valori massimi avvengono in due istanti di tempo differenti. Allora per combinare gli effetti dell’azione sismica considerando tutti i modi di vibrare è possibile utilizzare due metodi.

• Metodo SRSS o Radice Quadrata della Somma dei Quadrati: si sommano le sollecitazioni o gli spostamenti di tutti i modi di vibrare elevati al quadrato e poi si fa la radice quadrata della somma totale.
• Metodo CQC – Combinazione Quadratica Completa (7.3.3.1 delle NTC2008); è il metodo prescritto dalle NTC e che è possibile utilizzare per esempio nel software di calcolo.

Da questi metodi è possibile ricavare lo spostamento totale della struttura. L’applicazione di questi metodi però fa perdere informazioni circa la forma modale, per cui questi dovranno essere gli ultimi calcoli da effettuare.